Alumno:
Cristian Antonio Carmona Hernández
Maestro:
Miguel
Olvera Banda
Materia:
Análisis
derivativo de funciones
Grupo:
502
Matricula:
121680560-4
A)
1.1 DETERMINACION DE ELEMENTOS DE FUNCIONES
·
DEFINICION DE FUNCION Y RELACION
El concepto de función como un objeto matemático
independiente, susceptible de ser estudiado por sí solo, no apareció hasta los
inicios del cálculo en el siglo XVII.1 René
Descartes, Isaac Newton y Gottfried
Leibniz establecieron la idea de función como dependencia entre
dos cantidades variables. Leibniz en particular acuñó los términos «función»,
«variable», «constante» y «parámetro». La notación f(x) fue utilizada por
primera vez por A.C. Clairaut, y por Leonhard
Euler en su obra Commentarii de San petersburgo en
1736.2 3 4
·
DOMINIO Y RANGO
Dominio de una función está
dado por el conjunto de valores que puede tomar una función. Por ejemplo si f(x)
= x; esta variable x puede tomar cualquier valor, no tiene
ninguna restricción, entonces su dominio esta compuesto por todos los números
Reales.
Como los valores de la función
están dados para la variable independiente (x), los valores que puede tomar la
función son aquellos para los cuales al evaluar la función para un valor de x,
su resultado nos da un número Real. Por ejemplo la función:
F(x) = ,
Para buscar el dominio de la
función, se debe analizar para qué valores de x la función produce
como resultado un número Real. Se observa, para el ejemplo que al asignarle a x un
número negativo, la expresión se nos presenta como una raíz cuadrada de un
número negativo, lo cual no es posible; no es posible hallar dentro de los Reales un
número que satisfaga la expresión; por lo tanto el dominio de la función está
constituido por todos los números mayores o iguales que cero; expresado como:
En general se pueden seguir las siguientes
recomendaciones para obtener el dominio de una función o de una expresión
algebraica:
·
No puede haber una raíz cuadrada (ó cualquier
raíz par) negativa, pues se trataría de un número imaginario que no hace parte
de los Reales.
·
Un fraccionario no puede contener por
denominador cero, pues la expresión queda indeterminada.
El rango de una función, está
determinado por todos los valores que pueden resultar al evaluar una función.
Son los valores obtenidos para la variable dependiente (y). También se puede
expresar como todos los valores de salida de la función.
Por ejemplo:
Si x=2, evaluamos f
(2) = 2 ^2 = 4. Y así podemos hacerlo con cualquier número, positivo o
negativo. Como x está elevada al cuadrado todos los valores
resultantes (es decir de salida) son positivos. Con lo anterior se
obtiene que el rango está conformado por el cero y todos los números
positivos.
Al graficar la función se obtiene:
·
GRAFIADE FUNCIONES
Para obtener el rango desde
el punto de vista gráfico, debemos poner nuestra atención en el eje y. Se
puede ver que el rango está dado por valores mayores o iguales que cero,
pues la parábola que lo representa esta ubicada del eje x hacia arriba.
Con esto, y lo explicado anteriormente el rango es:
·
RAICES
En matemática,
se conoce como raíz (o cero) de un polinomio o
de una función (definida sobre un cierto cuerpo algebraico) f(x) a todo
elemento perteneciente al dominio de dicha función tal que se
cumpla:
.
Por ejemplo, dada la función:
Planteando y resolviendo la ecuación:
Se tiene que 2 y 4 son raíces (ver ecuación de segundo grado) ya que (2) = 0
y f (4) = 0.
INTERVALOS DE
INCREMENTO
1 Derivar la función.
2 Obtener las raíces de la derivada
primera, para ello hacemos: f'(x) = 0.
3 Formamos intervalos abiertos
con los ceros (raíces) de la derivada primera y los puntos de discontinuidad de
la función original (si los hubiese).
4 Tomamos un valor de cada
intervalo, y hallamos el signo que tiene en la derivada primera.
Si f'(x0)
> 0, entonces f es creciente en todos los puntos del intervalo al
que pertenece x0.
Si f'(x0)
< 0, entonces f es decreciente en todos los puntos del intervalo
al que pertenece x0.
5 Escribimos los intervalos de
crecimiento y decrecimiento.
B) Clasificación de funciones
Funciones algebraica
En las funciones algebraicas las operaciones que hay
que efectuar con la variable
Dependiente son: la adición, sustracción,
multiplicación, división, potenciación y radicación.
Las funciones algebraicas pueden ser:
Funciones explícita Si se pueden obtener las imágenes
de x por simple sustitución.
ECUACION: F(x) = 5x − 2
Una función de la forma f(x) = b, donde b es una
constante, se conoce como una función constante.
Por ejemplo, f(x) = 3, (que corresponde al valor de y) donde
el dominio es el conjunto de los números reales y el recorrido es {3}, por
tanto y = 3. La gráfica de abajo muestra que
es una recta horizontal.
Una función de la forma f(x) = mx + b se conoce como una función
lineal, donde m representa la pendiente y b representa el intercepto en y. La
representación gráfica de una función lineal es una recta. Las funciones
lineales son funciones polinómicas.
Ejemplo:
F(x) = 2x - 1
Es una función lineal con pendiente m = 2 e intercepto en y en (0, -1).
Su gráfica es una recta ascendente.
Para trazar la gráfica de una función lineal solo es
necesario conocer dos de sus puntos.
La ecuación matemática que
representa a esta función, como ya vimos, es f(x) = ax + b,
donde f(x) corresponde al valor de y, entonces
y = ax + b
El dominio de todas estas funciones polinómicas es el
conjunto de los números reales (porque el elemento x puede ser
cualquier número real).
Una función de la forma f(x) = ax2 + bx + c,
donde a, b y c son constantes y a es
diferente de cero, se conoce como una función cuadrática.
La representación gráfica de una función cuadrática es
una parábola. Una parábola abre hacia arriba si a > 0 y abre
hacia abajo si a < 0. El vértice de una parábola se
determina por la fórmula:
Las funciones cuadráticas son funciones polinómicas.
Ejemplo:
Una función racional es el cociente de dos funciones
polinómicas. Así es que q es una función racional si para
todo x en el dominio, se tiene:
Nota: El dominio de una función polinómica son los números reales;
sin embargo, el dominio de una función racional consiste de todos los números
reales excepto los ceros del polinomio en el denominador (ya que la división
por cero no está definida).
Función de potencia
Una función de potencia es
toda función de la forma f(x) = xr, donde r es
cualquier número real.
Las funciones f(x) = x4/3 y h(x) =
5x3/2 son funciones de potencia.
Ejercicios y ejemplos con funciones en general:
Expresar mediante una fórmula la función que asocia a cada número:
C)
Calculo de funciones:
Sumar:
Juntar dos o más
números (o cosas) para hacer un nuevo total.
Restar:
Quitar
un número de otro.
|
Minuendo - Sustraendo = Diferencia |
|
|
Minuendo:
el número al que se le quita algo.
Sustraendo: el número que se quita. Diferencia: el resultado de restar un número menos otro. |
|
Multiplicación:
(En su forma más simple) sumas repetidas.
|
Aquí
vemos que 6+6+6 (tres 6s) hacen 18
También
podemos decir que 3+3+3+3+3+3 (seis 3s) hacen 18
|
División:
... repartir en
partes o grupos iguales. Es el resultado de un "reparto equitativo".
La división tiene su
propias palabras que aprenderse.
Tomemos el sencillo
problema de dividir 22 entre 5. La respuesta es 4, y sobran 2. Aquí te
mostramos los nombres más importantes:
Potenciación:
La potenciación es una operación matemática entre dos
términos denominados: base a y exponente n. Se escribe an y
se lee usualmente como «a elevado a n» o «a elevado a la n»
y el sufijo en femenino correspondiente al exponente n. Hay algunos
números especiales, como el 2, al cuadrado o el 3, que le corresponde al cubo. Nótese que en el caso de la
potenciación la base y el exponente pueden pertenecer a conjuntos diferentes,
en un anillo totalmente general la base
será un elemento del anillo pero el exponente será un número
natural que no tiene porqué pertenecer al anillo. En un cuerpo el exponente puede ser unnúmero entero o
cero.
Composición de funcones:
Dadas dos funciones reales de variable real, f y g, se llama composición de las
funciones f y g, y
se escribe g o f, a la función definida de R en R,
por (g o f )(x) = g[f(x)].
La función ( g o f )(x)
se lee « f compuesto con g aplicado a x ».
Primero actúa
la función f y después actúa la función g, sobre f(x).
FUNCIONES INVERSAS
Sabemos que
una función es un conjunto de pares. Se nos puede ocurrir la idea de dar
la vuelta a los pares y obtener así una nueva función. Hagámoslo con
la función:
f = { (1, 2), (2, 4), (3, -1), (4, -2) }
y
observemos qué pasa llamando g al conjunto resultante:
g = { (2, 1), (4, 2), (-1, 3), (-2, 4) }
Hemos obtenido una nueva función.
Sin embargo, esto no funciona siempre. Tomemos ahora
como f el conjunto:
f = { (1, 2), (2, 4), (3, -1), (4, 2) }
y, entonces, g será:
g = { (2, 1), (4, 2), (-1, 3), (2, 4) }
que no es una función, pues g(2) no está determinado
de forma única; es decir, g no cumple la condición de función. Existen dos pares,
(2, 1) y (2, 4), que tienen la misma primera coordenada y la segunda coordenada
es distinta.
¿Cuál es la diferencia entre estos dos ejemplos?
Sencillamente, que en el segundo ejemplo f(1)=f(4)=2 y al darle la vuelta a los pares,
g(2) no está determinado de forma única; con lo cual g no es una función. En el
primer ejemplo, para valores diferentes de la "x" se obtienen valores
diferentes de la "y". Las funciones que se comportan como
la del primer ejemplo se llaman funciones inyectivas o uno a uno.
Función uno a uno graficacion:
Se ha estudiado cuando una ecuación en x y y define
a y como función de x. Esa misma ecuación
puede definir a x como función de y. En este caso tenemos la función inversa de la primera.
No toda función definida a través de una ecuación tiene función inversa. El concepto de función
uno a uno (biunívoca, inyectiva) es clave para definir la función inversa de una función dadas. Se
establece el criterio o prueba de la recta horizontal para determinar si la función es o no uno a uno.
Se propone una sucesión de pasos para obtener la inversa. La gráfica de la función inversa de f
puede ser obtenidad a partir de la gráfica de la función f, reflejando esta última en la recta y=x.
puede definir a x como función de y. En este caso tenemos la función inversa de la primera.
No toda función definida a través de una ecuación tiene función inversa. El concepto de función
uno a uno (biunívoca, inyectiva) es clave para definir la función inversa de una función dadas. Se
establece el criterio o prueba de la recta horizontal para determinar si la función es o no uno a uno.
Se propone una sucesión de pasos para obtener la inversa. La gráfica de la función inversa de f
puede ser obtenidad a partir de la gráfica de la función f, reflejando esta última en la recta y=x.
D) Modelación de funciones
Determinación del modelo matemático
En ciencias aplicadas, un modelo matemático es
uno de los tipos de modelos científicos que emplea algún tipo
de formulismo matemático para expresar relaciones, proposiciones sustantivas de
hechos, variables, parámetros, entidades y relaciones entre variables y/o
entidades u operaciones, para estudiar comportamientos de sistemas complejos ante
situaciones difíciles de observar en la realidad. El término modelización
matemática es utilizado también en diseño gráfico cuando se habla de
modelos geométricos de los objetos en dos (2D) o tres dimensiones (3D).
El significado de modelo matemático en filosofía de las matemáticas y fundamentos de las matemáticas es,
sin embargo, algo diferente. En concreto en esas áreas se trabajan con
"modelos formales". Un modelo formal para una cierta teoría matemática es un conjunto sobre el que se han
definido un conjunto de relaciones unarias, binarias y trinarias, que satisface
las proposiciones derivadas del conjunto de axiomas de
la teoría. La rama de la matemática que se encarga de estudiar sistemáticamente
las propiedades de los modelos es la teoría de modelos.
